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什么是数学建模竞赛

--中国科学技术大学 李尚志 教授

 

数学建模竞赛就是这样。它名曰数学,当然要用到数学知识,但却与以往所说的那种数学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。它要用到计算机,甚至离不开计算机,但却不是纯粹的计算机竞赛,它涉及物理,化学,生物,电子,农业,管理等各学科,各领域的知识,但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。它涉及各学科,各领域,但又不受任何一个具体的学科,领域的局限。它要用到各方面的综合的知识,但还不限此。选手们不只是要有各方面的知识,还要有驾域这些知识,应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的,你还必须有善于获得新的知识的能力。总之,数学建模竞赛,即要比赛各方面的综合知识,也比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合,它的优点也是综合。在这个意义上看,它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯,它的优点也就是不纯,综合就是不纯。 纯数学竞赛,如中学生的国际数学奥林匹克竞赛,或美国大学生的普特南数学竞赛,已经有很长的历史,也为大家所熟悉。特别是近若干年来我国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩,更使这项竞赛在我国有很高的知名度,在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷,计算能力的强弱等。试题都是纯数学问题,考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独立做题,不准交头接耳相互讨论,不准看任何书籍和参考资料,不准用计算机(器)。考题都有标准答案。当然,选手的解答方法可以与标准答案不同,但其解答方法的正确与否也是绝对的,特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果,对每个选手的答案给出分数,按分数高低来判定优劣。尽管也要对参赛的团体(代表一个国家,地区或学校)计算团体总分,但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的,在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此,这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜主要靠每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。这样的竞赛,对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路,对于培养数学家和数学专门人才,起了很大的作用。     随着社会的发展,数学在社会各领域中的应用越来越广泛,作用越来越大,不但运用于自然科学各个领域,各学科,而且渗透到经济,军事,管理以至于社会科学和社会活动的各个领域。但是,社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识。特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是“干净的”数学,而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说,你要对复杂的问题进行分析,发现其中的喀可用数学语来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并不陌生,它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型,就是模仿飞机造出来的。既然是仿造,就不是真的,只能是"假冒",但不能是"伪劣",必须真实地反映所模仿的 对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样,这样的飞机模型只要看起像飞机就行了,可以摆在展览馆供人参观,照相,但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理,就得造一个能飞起来的飞机模型,比如航空模型比赛的作品,它在空气中的飞行原理与飞机有相同之处。但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行,外观上也不必那么像飞机,可见,模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型,就是用数学语言(可能包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系,空间形式等。这种模仿当然是近似的,但又要尽可能的逼真。实际问题中的许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素,数学模型建立起来后,实际问题化成数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具,就促使数学家们(也包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展。例如,开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模型),牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它,但当时的数学工具是不够用的,这使了微积分的发明。求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算。这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁。而计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了,也用数学方法或数据方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反应的好不好,还需要接受检验。如果数学模型建立的不好,如果没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的。因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察,看它是否合理,是否可行。如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才算是得到一个解答,可以先付诸实施,但是,十全十美的答案是没有的,已得到的答案一定还有改进的余地,还可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂停告一段落,待将来有新的情况和要求后再作该进。     上面所说的建立数学模型来解决问题的过程,是各行各业各个领域大量需要的,也是我们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。做这样的事情,所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力,而需要多方面的综合能力。社会对具备这种能力的人的需求,比对数学专门人才的需求要多的多。因此,作为教育部门,在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触实际工作,得到锻炼,获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。这些实际问题并不限于某一方面,可以涉及非常广泛的,并不固定的范围。这样来促进应用人才的培养。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 


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